limites

LÍMITES

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
1.9
1.99
1.999

1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1 2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41

LÍMITES

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1 2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41

|x - 2| | f (x) - 3|
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1 |2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:
Definición épsilon-delta

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:
Definición épsilon-delta

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.

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